Resolva a equação diferencial dada.
(a y x^2 + b y) y' - x = 0 para a, b in R, a != 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo que envolve derivadas e funções. O enunciado é:
Aqui, e são números reais, e não pode ser zero. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre equações diferenciais de primeira ordem e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para isolar . A equação original é:
Vamos adicionar aos dois lados:
Agora, dividimos ambos os lados por para isolar :

Passo 3

Agora, temos a derivada de em termos de e :
Podemos reescrever isso multiplicando ambos os lados por :
Note que é a derivada de em relação a , ou seja:

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar . A equação fica:
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Agora, vamos resolver a integral do lado direito.

Passo 5

Para integrar , vamos usar substituição. Seja:
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, juntando tudo:
Multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde é uma constante qualquer.

Passo 7

Finalmente, isolamos tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Podemos também escrever a constante de forma simplificada, mantendo apenas :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante de integração.

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