Resolva a equação diferencial dada.
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo que envolve derivadas e funções. O enunciado é:
Aqui,
e
são números reais, e
não pode ser zero. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre equações diferenciais de primeira ordem e técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para isolar
. A equação original é:
Vamos adicionar
aos dois lados:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Agora, temos a derivada de
em termos de
e
:
Podemos reescrever isso multiplicando ambos os lados por
:
Note que
é a derivada de
em relação a
, ou seja:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
. A equação fica:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Agora, vamos resolver a integral do lado direito.
Passo 5
Para integrar
, vamos usar substituição. Seja:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, juntando tudo:
Multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde
é uma constante qualquer.
Passo 7
Finalmente, isolamos
tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Podemos também escrever a constante de forma simplificada, mantendo apenas
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante de integração.