Resolva as integrais abaixo. integral x arctg 2 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente à técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar identificar quais funções vão ser e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Lembrando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Essa fórmula nos ajuda a dividir a integral original em partes mais simples para resolver.

Passo 3

Escolhemos:
  • \quad (porque sua derivada é mais simples)
Agora, vamos calcular e .

Passo 4

Calculando du = ddx [arctg (2x)] , dx = 21 + (2x)^2 , dx = 21 + 4x^2 , dx :
Calculando v = integral x , dx = x^22 :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:

Passo 6

Simplificando a integral restante:
integral x^22 cdot 21 + 4x^2 , dx = integral x^21 + 4x^2 , dx
Podemos reescrever a fração:
x^21 + 4x^2 = 1 + 4x^2 - 11 + 4x^2 = 1 - 11 + 4x^2
Então:
integral x^21 + 4x^2 , dx = integral (1 - 11 + 4x^2) , dx = integral 1 , dx - integral 11 + 4x^2 , dx

Passo 7

Calculando as integrais:
integral 1 , dx = x
Então, substituindo de volta:

Passo 8

Voltando à expressão original da integração por partes:
Simplificando:

Resposta

A integral é:

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