Encontre a solução geral da equação diferencial dada. .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial dada:
Isso envolve equações diferenciais ordinárias e, mais especificamente, uma equação diferencial de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição apropriada que simplifique a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação do tipo dela. Dividindo ambos os lados por , temos:
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação de Bernoulli:
Onde, no nosso caso:

Passo 3

A equação de Bernoulli pode ser resolvida fazendo uma substituição que transforma a equação não linear em uma equação linear. A substituição que usamos é:
Substituindo :
Agora, vamos derivar em relação a :
Ou seja:

Passo 4

Substituindo na equação original:
Dividindo todos os termos por :
Lembrando que , então :
Multiplicando toda a equação por para simplificar:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em :
Onde:
Para resolver, vamos usar um fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Calculando a integral:
Onde é a constante de integração. Agora, resolvendo para :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:
Invertendo ambos os lados:
Tomando a raiz quadrada:
Podemos simplificar a expressão combinando os termos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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