Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial dada:
Isso envolve equações diferenciais ordinárias e, mais especificamente, uma equação diferencial de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição apropriada que simplifique a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação do tipo dela. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação de Bernoulli:
Onde, no nosso caso:
Passo 3
A equação de Bernoulli pode ser resolvida fazendo uma substituição que transforma a equação não linear em uma equação linear. A substituição que usamos é:
Substituindo
:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Ou seja:
Passo 4
Substituindo
na equação original:
Dividindo todos os termos por
:
Lembrando que
, então
:
Multiplicando toda a equação por
para simplificar:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em
:
Onde:
Para resolver, vamos usar um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Calculando a integral:
Onde
é a constante de integração. Agora, resolvendo para
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Invertendo ambos os lados:
Tomando a raiz quadrada:
Podemos simplificar a expressão combinando os termos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais separáveis e os PVI.
.
Resolva as equações diferenciais separáveis e os PVI.
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.