Resolva as equações diferenciais separáveis e os PVI.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial separável e o problema de valor inicial (PVI). A equação que temos é:
Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem que é separável, ou seja, podemos separar as variáveis
e
para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
em função de
. Para isso, movemos o termo envolvendo
para o outro lado da equação:
Agora, temos
em um lado e
no outro, o que nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, o lado esquerdo com
:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 4
Começando pela integral esquerda:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, a integral direita:
Aqui, vamos usar a substituição
, então
, ou seja,
. Substituindo:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Igualando as integrais dos dois lados:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
:
Passo 8
Substituindo a constante
de volta na equação:
Podemos simplificar a equação:
Resposta
A solução implícita da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais separáveis e os PVI.
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Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
.
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.