Resolva as equações diferenciais separáveis e os PVI.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial separável e o problema de valor inicial (PVI). A equação que temos é:
Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem que é separável, ou seja, podemos separar as variáveis e para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar em função de . Para isso, movemos o termo envolvendo para o outro lado da equação:
Agora, temos em um lado e no outro, o que nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, o lado esquerdo com :
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 4

Começando pela integral esquerda:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, a integral direita:
Aqui, vamos usar a substituição , então , ou seja, . Substituindo:
Onde é outra constante de integração.

Passo 6

Igualando as integrais dos dois lados:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo e :

Passo 8

Substituindo a constante de volta na equação:
Podemos simplificar a equação:

Resposta

A solução implícita da equação diferencial com a condição inicial dada é:

Exercícios relacionados

Resolva as equações diferenciais separáveis e os PVI.
Resolva as equações diferenciais separáveis e os PVI.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada. .
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.