Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial:
Aqui, representa a derivada de em relação a . O conteúdo que vamos usar para resolver isso é equações diferenciais lineares de primeira ordem e fator integrante. Precisamos organizar a equação de forma adequada e aplicar o método do fator integrante para encontrar a solução que satisfaça a condição inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação diferencial na forma padrão . Para isso, dividimos toda a equação por 2:
Agora, a equação está na forma:
onde e .

Passo 3

Vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Esse fator nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma forma que seja fácil de integrar.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
A expressão à esquerda agora pode ser escrita como a derivada do produto :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Calculando a integral:
Portanto, temos:

Passo 7

Para resolver para , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 8

Agora aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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