Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. O conteúdo que vamos usar para resolver isso é equações diferenciais lineares de primeira ordem e fator integrante. Precisamos organizar a equação de forma adequada e aplicar o método do fator integrante para encontrar a solução que satisfaça a condição inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação diferencial na forma padrão
. Para isso, dividimos toda a equação por 2:
Agora, a equação está na forma:
onde
e
.
Passo 3
Vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Esse fator nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma forma que seja fácil de integrar.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
A expressão à esquerda agora pode ser escrita como a derivada do produto
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Calculando a integral:
Portanto, temos:
Passo 7
Para resolver para
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 8
Agora aplicamos a condição inicial
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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.
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