Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A gente precisa encontrar a função
que satisfaz a equação
com a condição inicial
. Para isso, vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem, que nos ajudam a encontrar soluções para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de maneira padrão:
Aqui, a gente identificou a equação na forma
, onde
e
.
Passo 3
Agora, a gente precisa encontrar um fator integrante, que é uma função
tal que:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação e facilitar a integração.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
, então podemos escrever:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Então, isolando
:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Então, a solução final é:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
.
Resolva as equações diferenciais separáveis e os PVI.
.
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.