encontre a solução geral da equação e resolva o problema de valor inicial. Determine a amplitude, a frequência, a fase e o período.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo com as condições iniciais e . Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares e oscilações harmônicas. Vamos precisar resolver a equação característica, encontrar a solução geral e aplicar as condições iniciais para achar a solução específica. Depois, vamos determinar a amplitude, frequência, fase e período da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. Para isso, começamos encontrando a equação característica associada. Substituímos por e por :
Passo 3
Agora, resolvemos essa equação para achar os valores de :
Aqui, como temos raízes imaginárias ( representa a unidade imaginária), isso indica que a solução será uma combinação de funções seno e cosseno, caracterizando um movimento oscilatório.
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é então:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Aplicando a condição inicial :
Agora, derivamos para aplicar a segunda condição :
Aplicando :
Passo 6
Com e , a solução específica fica:
Passo 7
Agora, vamos determinar a amplitude, frequência, fase e período dessa função:
Amplitude: O coeficiente na frente do cosseno é 1, então a amplitude é 1.
Frequência angular (): É o que está dentro do argumento do cosseno, ou seja, .
Fase (): Não tem termo de fase adicional, então .
Período (T): O período é dado por .
Resposta
A solução geral da equação é . A amplitude é 1, a frequência angular é , a fase é 0 e o período é .