Resolva a equação de Bernoulli
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial não linear, mas podemos transformá-la em uma equação linear usando uma substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação de Bernoulli. Ela tem a forma geral:
No nosso caso,
,
e
. Para resolver, fazemos a substituição
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Vamos rearranjar para expressar
:
Passo 4
Substituímos
na equação original:
Dividindo tudo por
(lembrando que
):
Mas
, então:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear para
:
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante
é:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
A esquerda da equação é a derivada de
:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Usando integração por partes, onde
e
:
Portanto:
Passo 8
Resolvendo para
:
Lembrando que
:
Passo 9
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli é:
onde
é uma constante de integração.
Exercícios relacionados
partícula de masasa
descreve um movimento sobre o eixo
sols partio de uma ánica força
, com a condiçao inicial
açao
. Escreva
em função do
, obsorvado quo
está definido para valores de
.
Jma partícula de massa
descreve um movimento sobre o eixo
ob a ação de uma única força
, com a condição inicial (0)
e
. Escreva
em função de
, observado que
está efinido para valores de
.
Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.