Resolva a equação de Bernoulli

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial não linear, mas podemos transformá-la em uma equação linear usando uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação de Bernoulli. Ela tem a forma geral:
No nosso caso, , e . Para resolver, fazemos a substituição .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a :
Vamos rearranjar para expressar :

Passo 4

Substituímos na equação original:
Dividindo tudo por (lembrando que ):
Mas , então:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear para :
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante é:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
A esquerda da equação é a derivada de :

Passo 7

Integrando ambos os lados:
Usando integração por partes, onde e :
Portanto:

Passo 8

Resolvendo para :
Lembrando que :

Passo 9

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é:
onde é uma constante de integração.

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Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
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