partícula de masasa m = 1 descreve um movimento sobre o eixo x sols partio de uma ánica força mu' = -1/x^3 * i, x > 0, com a condiçao inicial x(0) açao v(0) = v0 > 0. Escreva v em função do x, obsorvado quo x está definido para valores de v0 != +- raiz(2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa que se move ao longo do eixo x sob a ação de uma força , onde . As condições iniciais são a posição x(0) e a velocidade . Precisamos encontrar a velocidade v em função da posição x, considerando que v0 != +- raiz(2). Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, como as leis de Newton e a conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força está relacionada à aceleração da partícula pela segunda lei de Newton:
Como , temos:
A aceleração a também pode ser expressa como a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Mas queremos relacionar v e x, então vamos usar a regra da cadeia:
Portanto, temos:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Essas integrais resultam em:
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
Para encontrar a constante C, usamos as condições iniciais. Quando , :
Isolando C:

Passo 5

Substituindo C de volta na equação da velocidade:
Simplificando:

Passo 6

Finalmente, isolamos v para expressá-lo em função de x:

Resposta

A velocidade v em função de x é dada por:

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