partícula de masasa descreve um movimento sobre o eixo sols partio de uma ánica força , com a condiçao inicial açao . Escreva em função do , obsorvado quo está definido para valores de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa que se move ao longo do eixo sob a ação de uma força , onde . As condições iniciais são a posição e a velocidade . Precisamos encontrar a velocidade em função da posição , considerando que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, como as leis de Newton e a conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força está relacionada à aceleração da partícula pela segunda lei de Newton:
Como , temos:
A aceleração também pode ser expressa como a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Mas queremos relacionar e , então vamos usar a regra da cadeia:
Portanto, temos:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Essas integrais resultam em:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
Para encontrar a constante , usamos as condições iniciais. Quando , :
Isolando :

Passo 5

Substituindo de volta na equação da velocidade:
Simplificando:

Passo 6

Finalmente, isolamos para expressá-lo em função de :

Resposta

A velocidade em função de é dada por:

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