Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y' - 1/2 y = 3 t - 6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação. A equação está no formato padrão:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Usando integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Portanto:

Passo 7

Voltando à equação onde integramos:
Multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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