Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação. A equação está no formato padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Usando integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Portanto:
Passo 7
Voltando à equação onde integramos:
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -2.827ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“17.285ex” height=“6.785ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1749.5 7639.8 2999”><title>x + y e^(-x) dy/dx = 0, y(0) = 1</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0 -0.5)”><path data-c=“7B” d=“M661 -1243L655 -1249H622L604 -1240Q503 -1190 434 -1107T348 -909Q346 -897 346 -499L345 -98L343 -82Q335 3 287 87T157 223Q146 232 145 236Q144 240 144 250Q144 265 145 268T157 278Q242 333 288 417T343 583L345 600L346 1001Q346 1398 348 1410Q379 1622 600 1739L622 1750H655L661 1744V1727V1721Q661 1712 661 1710T657 1705T648 1700T630 1690T602 1668Q589 1659 574 1643T531 1593T484 1508T459 1398Q458 1389 458 1001Q458 614 457 605Q441 435 301 316Q254 277 202 251L250 222Q260 216 301 185Q443 66 457 -104Q458 -113 458 -501Q458 -888 459 -897Q463 -944 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-11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(220,-345) scale(0.707)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D451” d=“M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” 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<html><head></head><body><div>Encontre a solução do problema de valor inicial em forma explícita. Determine, pelo menos aproximadamente, o intervalo no qual a solução está definida.<br>
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<html><head></head><body><div>Encontre a solução do problema de valor inicial dado.<br>
<span class="math-inline ">
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