Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação. A equação está no formato padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Usando integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Portanto:
Passo 7
Voltando à equação onde integramos:
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.