Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y' + 3t^2 y = e^(-t^3 + t), y(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema aí. A gente tem uma equação diferencial do tipo primeiro grau com um valor inicial. A matéria aqui é sobre Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver isso, a gente vai precisar usar o método do fator integrante. Basicamente, vamos transformar a equação para facilitar a resolução e encontrar a função que satisfaz a condição inicial dada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial pra deixar ela no formato padrão:
Aqui, comparando com a nossa equação:
Então, temos:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai multiplicar toda a equação para facilitar a integração. O fator integrante ( ) é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Como a constante não afeta o fator integrante, podemos descartá-la. Então:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante com :
Isso acontece porque:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Do lado direito:
Então temos:

Passo 7

Agora, vamos isolar :

Passo 8

Utilizando a condição inicial , vamos encontrar o valor de :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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