Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema aí. A gente tem uma equação diferencial do tipo primeiro grau com um valor inicial. A matéria aqui é sobre Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver isso, a gente vai precisar usar o método do fator integrante. Basicamente, vamos transformar a equação para facilitar a resolução e encontrar a função
que satisfaz a condição inicial dada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial pra deixar ela no formato padrão:
Aqui, comparando com a nossa equação:
Então, temos:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai multiplicar toda a equação para facilitar a integração. O fator integrante (
) é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Como a constante
não afeta o fator integrante, podemos descartá-la. Então:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante com
:
Isso acontece porque:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Do lado direito:
Então temos:
Passo 7
Agora, vamos isolar
:
Passo 8
Utilizando a condição inicial
, vamos encontrar o valor de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: