Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A questão nos dá uma equação com derivadas e uma condição inicial:
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de cálculo diferencial, especificamente de equações diferenciais de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que foi dada:
Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e a condição inicial.
Passo 3
Vamos isolar a derivada
na equação. Para isso, subtraímos
de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por
para deixar
sozinho:
Passo 4
Essa equação é uma equação diferencial não linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos fazer uma substituição inteligente. Vamos definir
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo
da equação anterior:
Passo 5
Agora, temos uma equação mais simples para
:
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Para resolver a integral
, usamos integração por partes. Definimos
e
, então
e
. Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 6
Lembrando que
, temos:
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
:
Então, a equação fica:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: