Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
x + y e^(-x) dy/dx = 0, y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A questão nos dá uma equação com derivadas e uma condição inicial: . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de cálculo diferencial, especificamente de equações diferenciais de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que foi dada:
Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial.

Passo 3

Vamos isolar a derivada na equação. Para isso, subtraímos de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por para deixar sozinho:

Passo 4

Essa equação é uma equação diferencial não linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos fazer uma substituição inteligente. Vamos definir . Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo da equação anterior:

Passo 5

Agora, temos uma equação mais simples para :
Vamos integrar ambos os lados em relação a :
Para resolver a integral , usamos integração por partes. Definimos e , então e . Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):
Substituindo de volta na expressão para :

Passo 6

Lembrando que , temos:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo e :
Então, a equação fica:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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