Resolva as equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação diferencial que você me passou:
Aqui, estamos lidando com uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso,
,
e
. Para resolver, vamos usar uma substituição que simplifica a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em uma linear. Definimos:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Isso nos ajuda a reescrever a equação original em termos de
.
Passo 3
Substituindo
na equação original, temos:
Vamos rearranjar para deixar a equação em uma forma linear padrão:
Agora, temos uma equação diferencial linear em
.
Passo 4
Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar um fator integrante
. Calculamos:
Multiplicamos toda a equação por
:
A esquerda da equação agora é a derivada de
.
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
ou, equivalentemente,
onde
é uma constante arbitrária.