Resolva as equações diferenciais.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação diferencial que você me passou:
Aqui, estamos lidando com uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso, , e . Para resolver, vamos usar uma substituição que simplifica a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em uma linear. Definimos:
Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Isso nos ajuda a reescrever a equação original em termos de .

Passo 3

Substituindo na equação original, temos:
Vamos rearranjar para deixar a equação em uma forma linear padrão:
Agora, temos uma equação diferencial linear em .

Passo 4

Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar um fator integrante . Calculamos:
Multiplicamos toda a equação por :
A esquerda da equação agora é a derivada de .

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
ou, equivalentemente,
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
.
Resolva as equações diferenciais.
.
Para as equações diferenciais dadas:
(i) Determine os pontos de equilíbrio.
(ii) Determine como varia o crescimento das soluções.
(iii) Determine como varia a concavidade das soluções.
(iv) Classifique cada um dos pontos de equilíbrio como assintoticamente estável ou instável.
(v) Esboce algumas soluções da equação usando os resultados dos itens anteriores.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
.