Resolva as equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação diferencial que você me passou:
Aqui, estamos lidando com uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso,
,
e
. Para resolver, vamos usar uma substituição que simplifica a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em uma linear. Definimos:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Isso nos ajuda a reescrever a equação original em termos de
.
Passo 3
Substituindo
na equação original, temos:
Vamos rearranjar para deixar a equação em uma forma linear padrão:
Agora, temos uma equação diferencial linear em
.
Passo 4
Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar um fator integrante
. Calculamos:
Multiplicamos toda a equação por
:
A esquerda da equação agora é a derivada de
.
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
ou, equivalentemente,
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
.
Resolva as equações diferenciais.
.
Para as equações diferenciais dadas:
(i) Determine os pontos de equilíbrio.
(ii) Determine como varia o crescimento das soluções.
(iii) Determine como varia a concavidade das soluções.
(iv) Classifique cada um dos pontos de equilíbrio como assintoticamente estável ou instável.
(v) Esboce algumas soluções da equação usando os resultados dos itens anteriores.
(i) Determine os pontos de equilíbrio.
(ii) Determine como varia o crescimento das soluções.
(iii) Determine como varia a concavidade das soluções.
(iv) Classifique cada um dos pontos de equilíbrio como assintoticamente estável ou instável.
(v) Esboce algumas soluções da equação usando os resultados dos itens anteriores.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
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