Para as equações diferenciais dadas:
(i) Determine os pontos de equilíbrio.
(ii) Determine como varia o crescimento das soluções.
(iii) Determine como varia a concavidade das soluções.
(iv) Classifique cada um dos pontos de equilíbrio como assintoticamente estável ou instável.
(v) Esboce algumas soluções da equação usando os resultados dos itens anteriores.
(i) Determine os pontos de equilíbrio.
(ii) Determine como varia o crescimento das soluções.
(iii) Determine como varia a concavidade das soluções.
(iv) Classifique cada um dos pontos de equilíbrio como assintoticamente estável ou instável.
(v) Esboce algumas soluções da equação usando os resultados dos itens anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre equações diferenciais! A gente tem a equação
. A matéria envolvida aqui é as equações diferenciais de primeira ordem e o estudo de seus pontos de equilíbrio, comportamento das soluções e concavidade. Para resolver, vamos precisar encontrar onde a derivada é zero (pontos de equilíbrio), analisar se as soluções estão crescendo ou decrescendo, ver a concavidade das soluções, classificar a estabilidade dos pontos de equilíbrio e, por fim, esboçar algumas soluções com base nisso tudo.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar os pontos de equilíbrio. Pontos de equilíbrio são valores de
onde
. Então, igualamos a equação a zero:
Resolvendo para
:
Então, o único ponto de equilíbrio é
.
Passo 3
Agora, vamos ver como varia o crescimento das soluções. Isso significa analisar se as soluções estão aumentando ou diminuindo dependendo do valor de
.
Olha só a derivada
:
- Se
, então e está aumentando. - Se
, então e está diminuindo.
Analisando o sinal de
:
- Para
: então ( aumenta). - Para
: então ( diminui).
Portanto, as soluções aumentam quando
e diminuem quando
.
Passo 4
Vamos determinar como varia a concavidade das soluções. Isso envolve calcular a segunda derivada
.
Primeiro, reescrevemos a equação:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a
:
Substituindo
:
Agora, analisamos o sinal da segunda derivada para determinar a concavidade:
- Se
, a concavidade é para cima. - Se
, a concavidade é para baixo.
O sinal depende de
e
:
- Para
: então (concavidade para baixo). - Para
: então (concavidade para cima).
Passo 5
Vamos classificar o ponto de equilíbrio
como assintoticamente estável ou instável. Para isso, verificamos o comportamento das soluções próximas ao ponto.
De passo 3, sabemos que:
- Se
, aumenta em direção a 0. - Se
, diminui em direção a 0.
Isso significa que independente de
estar um pouco acima ou abaixo de 0, ele tende a se mover em direção ao ponto de equilíbrio. Portanto,
é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar algumas soluções da equação usando os resultados anteriores:
- Para
, as soluções aumentam e se aproximam de 0, com concavidade para baixo. - Para
, as soluções diminuem e se aproximam de 0, com concavidade para cima. - No ponto
, temos um ponto de equilíbrio assintoticamente estável.
Então, o gráfico terá uma curva que se aproxima de
tanto de cima quanto de baixo, com as concavidades variando conforme a posição.
Resposta
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.
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.
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