Para as equações diferenciais dadas:
(i) Determine os pontos de equilíbrio.
(ii) Determine como varia o crescimento das soluções.
(iii) Determine como varia a concavidade das soluções.
(iv) Classifique cada um dos pontos de equilíbrio como assintoticamente estável ou instável.
(v) Esboce algumas soluções da equação usando os resultados dos itens anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre equações diferenciais! A gente tem a equação . A matéria envolvida aqui é as equações diferenciais de primeira ordem e o estudo de seus pontos de equilíbrio, comportamento das soluções e concavidade. Para resolver, vamos precisar encontrar onde a derivada é zero (pontos de equilíbrio), analisar se as soluções estão crescendo ou decrescendo, ver a concavidade das soluções, classificar a estabilidade dos pontos de equilíbrio e, por fim, esboçar algumas soluções com base nisso tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar os pontos de equilíbrio. Pontos de equilíbrio são valores de onde . Então, igualamos a equação a zero:
Resolvendo para :
Então, o único ponto de equilíbrio é .

Passo 3

Agora, vamos ver como varia o crescimento das soluções. Isso significa analisar se as soluções estão aumentando ou diminuindo dependendo do valor de .
Olha só a derivada :
  • Se , então e está aumentando.
  • Se , então e está diminuindo.
Analisando o sinal de :
  • Para : então ( aumenta).
  • Para : então ( diminui).
Portanto, as soluções aumentam quando e diminuem quando .

Passo 4

Vamos determinar como varia a concavidade das soluções. Isso envolve calcular a segunda derivada .
Primeiro, reescrevemos a equação:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a :
Substituindo :
Agora, analisamos o sinal da segunda derivada para determinar a concavidade:
  • Se , a concavidade é para cima.
  • Se , a concavidade é para baixo.
O sinal depende de e :
  • Para : então (concavidade para baixo).
  • Para : então (concavidade para cima).

Passo 5

Vamos classificar o ponto de equilíbrio como assintoticamente estável ou instável. Para isso, verificamos o comportamento das soluções próximas ao ponto.
De passo 3, sabemos que:
  • Se , aumenta em direção a 0.
  • Se , diminui em direção a 0.
Isso significa que independente de estar um pouco acima ou abaixo de 0, ele tende a se mover em direção ao ponto de equilíbrio. Portanto, é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável.

Passo 6

Por fim, vamos esboçar algumas soluções da equação usando os resultados anteriores:
  • Para , as soluções aumentam e se aproximam de 0, com concavidade para baixo.
  • Para , as soluções diminuem e se aproximam de 0, com concavidade para cima.
  • No ponto , temos um ponto de equilíbrio assintoticamente estável.
Então, o gráfico terá uma curva que se aproxima de tanto de cima quanto de baixo, com as concavidades variando conforme a posição.

Resposta

é o único ponto de equilíbrio e é assintoticamente estável. As soluções aumentam quando e diminuem quando . A concavidade é para baixo quando e para cima quando . O esboço das soluções mostra curvas convergindo para de ambos os lados.

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.
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.
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