Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a solução geral da equação diferencial
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação na forma padrão
. Aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo
:
Como
geralmente é positivo no contexto de equações diferenciais, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Então podemos escrever:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver a integral
usando integração por partes, onde:
-
e - Então,
e
Aplicando a fórmula
:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Passo 9
Finalmente, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer.