Encontre a solução geral da equação diferencial dada. y' - 4/x y = x^5 e^x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação na forma padrão . Aqui, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante . A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo :
Como geralmente é positivo no contexto de equações diferenciais, podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Então podemos escrever:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver a integral usando integração por partes, onde:
  • e
  • Então, e
Aplicando a fórmula :

Passo 8

Substituindo de volta na equação:

Passo 9

Finalmente, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante qualquer.

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