Resolva a equação diferencial dada.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial
. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
Dividindo todos os termos por
, a equação fica:
Aqui,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos calcular a integral no expoente:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. Então:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para a derivada do produto:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
:
Ou seja:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.