Resolva a equação diferencial dada. (1+x^2) y' - x y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial . Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
Dividindo todos os termos por , a equação fica:
Aqui, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Vamos calcular a integral no expoente:
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Então:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para a derivada do produto:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para :
Ou seja:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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