Um tanque contém inicialmente 100 litros de água pura. Então, água salgada, contendo 30 e^(-2/10 t) gramas de sal por litro, passa a ser bombeada para o tanque a uma taxa de 10 litros por minuto. Simultaneamente a solução passa a ser agitada e retirada do tanque na mesma taxa.
(b) Calcule em que instante a concentração de sal no tanque será de 7,5 gramas por litro.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um tanque com 100 litros de água pura no começo. Depois, começa a entrar água salgada com uma concentração que varia com o tempo, especificamente 30 e^(-2/10 t) gramas de sal por litro, a uma taxa de 10 litros por minuto. Ao mesmo tempo, a mistura está sendo retirada do tanque na mesma taxa. Nosso objetivo aqui é descobrir em que instante a concentração de sal no tanque será de 7,5 gramas por litro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a taxas de variação de concentração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a quantidade de sal no tanque muda ao longo do tempo. Vamos chamar de S(t) a quantidade de sal no tanque no instante t. A taxa de entrada de sal é dada pela concentração da água que entra multiplicada pela taxa de fluxo de entrada:

Passo 3

Já a taxa de saída de sal depende da concentração de sal no tanque no instante t. Como estamos retirando 10 litros por minuto e a concentração no tanque é gramas por litro (o volume do tanque é constante em 100 litros), temos:
í

Passo 4

Agora, podemos montar a equação diferencial que descreve a variação da quantidade de sal no tanque:
í

Passo 5

Para resolver essa equação diferencial linear, vamos primeiro rearranjá-la:
Essa é uma equação do tipo , onde e .

Passo 6

Encontramos o fator integrante ( ) para resolver a equação:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a t:

Passo 9

Resolvemos para S(t):

Passo 10

Aplicamos a condição inicial: no tempo t = 0, a quantidade de sal (já que o tanque começa com água pura).
Então, a solução da equação diferencial é:

Passo 11

A concentração de sal no tanque é dada por gramas por litro. Queremos que essa concentração seja 7,5 gramas por litro:

Passo 12

Substituímos S(t) na equação da quantidade de sal:
Dividimos ambos os lados por 3000:
Rearranjando:

Passo 13

Essa equação pode ser resolvida numericamente. Vamos fazer uma aproximação ou usar uma calculadora para encontrar o valor de t que satisfaz a equação.
Após resolver numericamente, encontramos que minutos.

Resposta

A concentração de sal no tanque será de 7,5 gramas por litro aproximadamente após 11,5 minutos.

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