Um tanque contém inicialmente 100 litros de água pura. Então, água salgada, contendo
gramas de sal por litro, passa a ser bombeada para o tanque a uma taxa de 10 litros por minuto. Simultaneamente a solução passa a ser agitada e retirada do tanque na mesma taxa.
(b) Calcule em que instante a concentração de sal no tanque será de 7,5 gramas por litro.
(b) Calcule em que instante a concentração de sal no tanque será de 7,5 gramas por litro.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um tanque com 100 litros de água pura no começo. Depois, começa a entrar água salgada com uma concentração que varia com o tempo, especificamente
gramas de sal por litro, a uma taxa de 10 litros por minuto. Ao mesmo tempo, a mistura está sendo retirada do tanque na mesma taxa. Nosso objetivo aqui é descobrir em que instante a concentração de sal no tanque será de 7,5 gramas por litro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a taxas de variação de concentração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a quantidade de sal no tanque muda ao longo do tempo. Vamos chamar de
a quantidade de sal no tanque no instante
. A taxa de entrada de sal é dada pela concentração da água que entra multiplicada pela taxa de fluxo de entrada:
Passo 3
Já a taxa de saída de sal depende da concentração de sal no tanque no instante
. Como estamos retirando 10 litros por minuto e a concentração no tanque é
gramas por litro (o volume do tanque é constante em 100 litros), temos:
Passo 4
Agora, podemos montar a equação diferencial que descreve a variação da quantidade de sal no tanque:
Passo 5
Para resolver essa equação diferencial linear, vamos primeiro rearranjá-la:
Essa é uma equação do tipo
, onde
e
.
Passo 6
Encontramos o fator integrante (
) para resolver a equação:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Passo 9
Resolvemos para
:
Passo 10
Aplicamos a condição inicial: no tempo
, a quantidade de sal
(já que o tanque começa com água pura).
Então, a solução da equação diferencial é:
Passo 11
A concentração de sal no tanque é dada por
gramas por litro. Queremos que essa concentração seja 7,5 gramas por litro:
Passo 12
Substituímos
na equação da quantidade de sal:
Dividimos ambos os lados por 3000:
Rearranjando:
Passo 13
Essa equação pode ser resolvida numericamente. Vamos fazer uma aproximação ou usar uma calculadora para encontrar o valor de
que satisfaz a equação.
Após resolver numericamente, encontramos que
minutos.
Resposta
A concentração de sal no tanque será de 7,5 gramas por litro aproximadamente após 11,5 minutos.