Resolva a equação diferencial dada. y^2 - 1 - (2y + xy) y' = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como manipular a equação para isolarmos e então aplicar técnicas de resolução apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar sozinho do lado esquerdo. Isso facilita a identificação do tipo de equação que estamos lidando.
Dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Podemos fatorar o denominador:
Substituindo de volta na equação:

Passo 4

Observamos que pode ser fatorado como . Assim, temos:
Agora, vamos tentar separar as variáveis e para integrar ambos os lados.

Passo 5

Reescrevendo a equação:
Precisamos simplificar a fração do lado esquerdo. Podemos usar frações parciais para isso.

Passo 6

Decompondo em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para e :
Para :
Para :
Então:

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:

Passo 8

Simplificando a expressão:
Elevando ambos os lados como potência de :
Onde é uma constante.

Passo 9

Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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