Resolva a equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como manipular a equação para isolarmos
e então aplicar técnicas de resolução apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar
sozinho do lado esquerdo. Isso facilita a identificação do tipo de equação que estamos lidando.
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Podemos fatorar o denominador:
Substituindo de volta na equação:
Passo 4
Observamos que
pode ser fatorado como
. Assim, temos:
Agora, vamos tentar separar as variáveis
e
para integrar ambos os lados.
Passo 5
Reescrevendo a equação:
Precisamos simplificar a fração do lado esquerdo. Podemos usar frações parciais para isso.
Passo 6
Decompondo
em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolvendo para
e
:
Para
:
Para
:
Então:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Elevando ambos os lados como potência de
:
Onde
é uma constante.
Passo 9
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.