Verifique que cada função dada é uma solução da equação diferencial. a^2 ux x=ut t ; u1(x, t)=sen(lambda x) sen(lambda a t), u2(x, t)=sen(x-a t), lambda in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se cada uma das funções dadas é solução da equação diferencial . Isso está relacionado com o estudo de equações diferenciais parciais, especificamente a equação da onda. Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas das funções em relação a e e ver se a igualdade é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Precisamos encontrar e .

Passo 3

Vamos calcular u1x = partialpartial x [sin(lambda x) sin(lambda a t)] = lambda cos(lambda x) sin(lambda a t) :
u1xx = partialpartial x [lambda cos(lambda x) sin(lambda a t)] = -lambda^2 sin(lambda x) sin(lambda a t)

Passo 4

Agora, vamos calcular u1t = partialpartial t [sin(lambda x) sin(lambda a t)] = lambda a sin(lambda x) cos(lambda a t) :
u1tt = partialpartial t [lambda a sin(lambda x) cos(lambda a t)] = -lambda^2 a^2 sin(lambda x) sin(lambda a t)

Passo 5

Agora, substituímos a^2 (-lambda^2 sin(lambda x) sin(lambda a t)) = -lambda^2 a^2 sin(lambda x) sin(lambda a t) e - a^2 lambda^2 sin(lambda x) sin(lambda a t) = -lambda^2 a^2 sin(lambda x) sin(lambda a t) na equação :
Vemos que os dois lados são iguais, então é de fato uma solução da equação diferencial.

Passo 6

Agora, vamos verificar a função . Novamente, precisamos encontrar e .

Passo 7

Primeiro, calculamos u2x = partialpartial x [sin(x - a t)] = cos(x - a t) :
u2xx = partialpartial x [cos(x - a t)] = -sin(x - a t)

Passo 8

Agora, calculamos u2t = partialpartial t [sin(x - a t)] = -a cos(x - a t) :
u2tt = partialpartial t [-a cos(x - a t)] = -a^2 (-sin(x - a t)) = a^2 sin(x - a t)

Passo 9

Substituindo a^2 (-sin(x - a t)) = a^2 sin(x - a t) e - a^2 sin(x - a t) = a^2 sin(x - a t) na equação :
A igualdade só é verdadeira se , o que não é geral. Portanto, não é uma solução da equação diferencial para valores gerais de e .

Resposta

A função é solução da equação diferencial , enquanto não é solução dessa equação de forma geral.

Exercícios relacionados