Verifique que cada função dada é uma solução da equação diferencial.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se cada uma das funções dadas é solução da equação diferencial
. Isso está relacionado com o estudo de equações diferenciais parciais, especificamente a equação da onda. Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas das funções em relação a
e
e ver se a igualdade é satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Precisamos encontrar
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na equação
:
Vemos que os dois lados são iguais, então
é de fato uma solução da equação diferencial.
Passo 6
Agora, vamos verificar a função
. Novamente, precisamos encontrar
e
.
Passo 7
Primeiro, calculamos
:
Passo 8
Agora, calculamos
:
Passo 9
Substituindo
e
na equação
:
A igualdade só é verdadeira se
, o que não é geral. Portanto,
não é uma solução da equação diferencial para valores gerais de
e
.
Resposta
A função
é solução da equação diferencial
, enquanto
não é solução dessa equação de forma geral.