Resolva as integrais abaixo. integral sen m x cos n x d x, m neq n
Use sen(A+B)+sen(A-B)=

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma integral que envolve as funções seno e cosseno, especificamente sin(A + B) + sin(A - B) = 2 sin A cos B , onde é diferente de . Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que relaciona o produto de seno e cosseno com a soma de senos:

Passo 2

Vamos começar aplicando a identidade trigonométrica para simplificar o produto sin(m x) cos(n x) = 12 [sin(m x + n x) + sin(m x - n x)] . Sabemos que:
Isso nos ajuda a transformar o produto em uma soma de senos, o que facilita a integração.

Passo 3

Agora, substituímos a identidade na integral original:
integral sin(m x) cos(n x) , dx = 12 integral [sin((m + n) x) + sin((m - n) x)] , dx
Assim, a integral fica dividida em duas partes mais simples para resolver.

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de 12 integral sin((m + n) x) , dx = 12 ( -1m + n cos((m + n)x) ) é 12 integral sin((m - n) x) , dx = 12 ( -1m - n cos((m - n)x) ) , onde é uma constante.
Então,
e

Passo 5

Agora, juntamos os dois resultados:
12 ( -1m + n cos((m + n)x) - 1m - n cos((m - n)x) ) + C
Podemos reescrever isso para simplificar a expressão:
-12(m + n) cos((m + n)x) - 12(m - n) cos((m - n)x) + C

Resposta

Portanto, a integral de -12(m + n) cos((m + n)x) - 12(m - n) cos((m - n)x) + C é:

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