Resolva as integrais abaixo.
Use

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma integral que envolve as funções seno e cosseno, especificamente , onde é diferente de . Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que relaciona o produto de seno e cosseno com a soma de senos:

Passo 2

Vamos começar aplicando a identidade trigonométrica para simplificar o produto . Sabemos que:
Isso nos ajuda a transformar o produto em uma soma de senos, o que facilita a integração.

Passo 3

Agora, substituímos a identidade na integral original:
Assim, a integral fica dividida em duas partes mais simples para resolver.

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de é , onde é uma constante.
Então,
e

Passo 5

Agora, juntamos os dois resultados:
Podemos reescrever isso para simplificar a expressão:

Resposta

Portanto, a integral de é:

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Encontre a solução geral da equação diferencial dada: