Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Esse tipo de problema faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar achar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea ( ) e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea: . Para isso, montamos a equação característica substituindo por , o que nos dá: .

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica . Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores de são e .

Passo 4

Com os valores de , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que a gente determina com as condições iniciais, se tiver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Como o termo não homogêneo é e isso não aparece na solução homogênea, podemos tentar uma solução particular da forma , onde é uma constante a ser encontrada.

Passo 6

Vamos derivar para substituir na equação:
Substituindo na equação original:
Simplificando:

Passo 7

Resolvendo para :
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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use a formula de Euler para escrever a expressão dada na forma ib.
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Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe uma raiz da equação no intervalo especificado:
a)
Para quais valores de existe