Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Esse tipo de problema faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar achar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea (
) e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
. Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
, o que nos dá:
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores de
são
e
.
Passo 4
Com os valores de
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que a gente determina com as condições iniciais, se tiver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como o termo não homogêneo é
e isso não aparece na solução homogênea, podemos tentar uma solução particular da forma
, onde
é uma constante a ser encontrada.
Passo 6
Vamos derivar
para substituir na equação:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo para
:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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use a formula de Euler para escrever a expressão dada na forma
ib.
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ib.
Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe uma raiz da equação no intervalo especificado:
a)
a)
Para quais valores de
existe