use a formula de Euler para escrever a expressão dada na forma ib.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa usar a fórmula de Euler para escrever a expressão na forma . A fórmula de Euler é uma ferramenta poderosa em matemática que conecta números complexos com funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender exponenciação de números complexos e como aplicar a fórmula de Euler.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Essa expressão é um pouco confusa, mas parece que estamos lidando com elevado a uma potência complexa. Vamos reescrever isso para deixar mais claro:
Agora, temos elevado a um número complexo .

Passo 3

A fórmula de Euler nos diz que para qualquer número complexo , podemos escrever:
Onde é a base dos logaritmos naturais. No nosso caso, precisamos adaptar essa fórmula para a base .

Passo 4

Para lidar com a base , vamos lembrar que qualquer exponencial pode ser reescrita na base usando logaritmos:
Então, aplicando isso à nossa expressão:

Passo 5

Agora, vamos separar a expressão em duas partes usando propriedades da exponenciação:
A primeira parte, , simplifica para , já que .

Passo 6

A segunda parte, , podemos aplicar a fórmula de Euler:
Aqui, . Então temos:

Passo 7

Agora, juntando as duas partes, temos:
Distribuindo :

Resposta

Portanto, a expressão escrita na forma é:

Exercícios relacionados

use a formula de Euler para escrever a expressão dada na forma ib.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe uma raiz da equação no intervalo especificado:
a)