Questão 1 [2,0 pontos] Considere a função
.
d. Determine
e
e interprete esses números como inclinações.
d. Determine
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a parte d da Questão 1, que pede pra encontrar as derivadas parciais da função
nos pontos
. Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que basicamente nos mostram como a função muda quando mudamos uma variável enquanto a outra fica fixa. Vamos precisar usar regras de derivação e aplicar essas regras nas variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
.
A função é
, que também podemos escrever como
.
Usamos a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como constante e derivamos em relação a
.
Usando a mesma abordagem:
Passo 4
Agora que temos as expressões para
e
, vamos avaliar essas derivadas no ponto
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Por fim, vamos interpretar esses números como inclinações. A derivada parcial
representa a inclinação da superfície em relação ao eixo
no ponto
, que é aproximadamente -0,3535. Isso significa que, ao aumentar
, a função diminui nessa taxa. Já
indica que, nesse ponto específico, não há inclinação em relação ao eixo
; ou seja, a superfície é plana nessa direção.
Resposta
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Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(a)
(a)
Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(e)
(e)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(d)
(d)
Encontre a solução geral da equação diferencial e ilustre-a graficamente:
b-)
b-)