Questão 1 [2,0 pontos] Considere a função .
d. Determine e e interprete esses números como inclinações.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a parte d da Questão 1, que pede pra encontrar as derivadas parciais da função nos pontos . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que basicamente nos mostram como a função muda quando mudamos uma variável enquanto a outra fica fixa. Vamos precisar usar regras de derivação e aplicar essas regras nas variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
A função é , que também podemos escrever como .
Usamos a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como constante e derivamos em relação a .
Usando a mesma abordagem:

Passo 4

Agora que temos as expressões para e , vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Para :
Para :

Passo 5

Por fim, vamos interpretar esses números como inclinações. A derivada parcial representa a inclinação da superfície em relação ao eixo no ponto , que é aproximadamente -0,3535. Isso significa que, ao aumentar , a função diminui nessa taxa. Já indica que, nesse ponto específico, não há inclinação em relação ao eixo ; ou seja, a superfície é plana nessa direção.

Resposta

e . Essas inclinações mostram que a função decresce na direção de e é plana na direção de no ponto .

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Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(a)
Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(e)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(d)
Encontre a solução geral da equação diferencial e ilustre-a graficamente:
b-)