Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
L{f(t)}, onde f(t) = { t se 0 <= t < 4; e^t se t >= 4 }

Passo 1

Vamos resolver a Transformada de Laplace da função que é definida de duas formas diferentes:
Para isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que nos ajuda a transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais.

Passo 2

Lembrando que a Transformada de Laplace de uma função é dada por:
Como nossa função tem duas partes, vamos dividir a integral em duas partes: de 0 a 4 e de 4 a infinito.

Passo 3

Primeiro, calculamos a transformada para a parte onde no intervalo :
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes. Definimos:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Calculando os limites:

Passo 4

Agora, calculamos a transformada para a parte onde no intervalo :
Essa integral converge se . Integrando:
Como , tende a zero quando . Assim:

Passo 5

Finalmente, somamos as duas partes para obter a Transformada de Laplace completa:
Organizando os termos:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

Exercícios relacionados

Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
L{t e^t sen t}
Encontre a Transformada de Laplace Inversa:
L^{-1} { e^{-2 s} / (s^{2} - 3 s + 2) }
Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
y'' + 4y = e^t + delta(t - pi), y(0) = 0, y'(0) = 0
Encontre a solução geral da equação não homogênea
x^2 y'' - 2 x y' + 2 y = x^4 e^(3 x)