Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
, onde
Passo 1
Vamos resolver a Transformada de Laplace da função
que é definida de duas formas diferentes:
Para isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que nos ajuda a transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais.
Passo 2
Lembrando que a Transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Como nossa função
tem duas partes, vamos dividir a integral em duas partes: de 0 a 4 e de 4 a infinito.
Passo 3
Primeiro, calculamos a transformada para a parte onde
no intervalo
:
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes. Definimos:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Calculando os limites:
Passo 4
Agora, calculamos a transformada para a parte onde
no intervalo
:
Essa integral converge se
. Integrando:
Como
,
tende a zero quando
. Assim:
Passo 5
Finalmente, somamos as duas partes para obter a Transformada de Laplace completa:
Organizando os termos:
Resposta
A Transformada de Laplace da função
é:
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