Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a Transformada de Laplace Inversa de . Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, que nos ajuda a resolver equações diferenciais convertendo funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar as tabelas de transformadas inversas.
Passo 2
Vamos começar completando o quadrado no denominador . Para isso, observamos os coeficientes de :
Agora, nossa expressão fica:
Passo 3
Queremos expressar o numerador de uma forma que facilite a aplicação da transformada inversa. Observe que:
Então, substituímos na fração:
Passo 4
Agora, temos duas frações que reconhecemos nas tabelas de transformadas de Laplace inversas:
corresponde a
corresponde a
Aqui, e (pois ).
Passo 5
Aplicando as fórmulas:
Para :
Para :
Passo 6
Subtraindo as duas partes, conforme a expressão que obtivemos: