Encontre a Transformada de Laplace Inversa:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede: precisamos encontrar a Transformada de Laplace Inversa de
. Para resolver isso, vamos precisar utilizar frações parciais e o teorema de deslocamento da Transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração:
. Precisamos encontrar dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2, então:
Passo 3
Agora, vamos decompôr a fração
em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Para encontrar os valores de
e
, vamos escolher valores de
que simplificam a equação.
Escolhendo
:
Escolhendo
:
Então, temos:
Passo 4
Vamos encontrar a Transformada de Laplace Inversa de cada termo separadamente. Sabemos que:
Portanto:
e
Então, a Transformada de Laplace Inversa da fração sem o termo
é:
Passo 5
Agora, vamos considerar o termo
na expressão original. Isso corresponde a um deslocamento no tempo segundo o teorema de deslocamento da Transformada de Laplace, ou seja:
onde
é a função de Heaviside.
No nosso caso,
, então:
Resposta
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, onde