Encontre a Transformada de Laplace Inversa:
L^{-1} { e^{-2 s} / (s^{2} - 3 s + 2) }

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede: precisamos encontrar a Transformada de Laplace Inversa de . Para resolver isso, vamos precisar utilizar frações parciais e o teorema de deslocamento da Transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração: . Precisamos encontrar dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2, então:

Passo 3

Agora, vamos decompôr a fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Para encontrar os valores de e , vamos escolher valores de que simplificam a equação.
Escolhendo :
Escolhendo :
Então, temos:

Passo 4

Vamos encontrar a Transformada de Laplace Inversa de cada termo separadamente. Sabemos que:
Portanto:
e
Então, a Transformada de Laplace Inversa da fração sem o termo é:

Passo 5

Agora, vamos considerar o termo na expressão original. Isso corresponde a um deslocamento no tempo segundo o teorema de deslocamento da Transformada de Laplace, ou seja:
onde é a função de Heaviside.
No nosso caso, , então:

Resposta

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