Encontre a solução geral da equação
e determine a solução
dessa EDO que satisfaz a condição
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do segundo grau que é
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, a gente vai precisar entender como achar a solução geral usando o método das equações características e depois aplicar as condições iniciais para achar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, a gente monta a equação característica associada à EDO. A equação característica para uma equação diferencial linear com coeficientes constantes é obtida substituindo
por
,
por
e
por 1. Então, para a nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então, temos dois valores de
:
Passo 4
Com os valores de
encontrados, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções exponenciais correspondentes:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais
e
para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, calculamos
:
Passo 6
Em seguida, precisamos da derivada de
:
Aplicando a condição
:
Passo 7
Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, temos
. Substituindo na primeira:
Então,
.
Resposta
A solução da equação diferencial que satisfaz as condições iniciais é:
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da equação para
em um sistema de coordenadas e para
em outro sistema de coordenadas.
Determine o domínio natural e a imagem da função algebricamente.
Determine os seguintes limites.
(b) .
(b)
Determine os seguintes limites.
© .
©