Encontre a solução geral da equação
e determine a solução dessa EDO que satisfaz a condição e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do segundo grau que é . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, a gente vai precisar entender como achar a solução geral usando o método das equações características e depois aplicar as condições iniciais para achar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, a gente monta a equação característica associada à EDO. A equação característica para uma equação diferencial linear com coeficientes constantes é obtida substituindo por , por e por 1. Então, para a nossa equação:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Então, temos dois valores de :

Passo 4

Com os valores de encontrados, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções exponenciais correspondentes:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais e para encontrar os valores de e .
Primeiro, calculamos :

Passo 6

Em seguida, precisamos da derivada de :
Aplicando a condição :

Passo 7

Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira:
Então, .

Resposta

A solução da equação diferencial que satisfaz as condições iniciais é:

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(b) .
Determine os seguintes limites.
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