Esboce o gráfico da equação para
em um sistema de coordenadas e para
em outro sistema de coordenadas.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação
e precisamos desenhar o gráfico dessa função para dois conjuntos de valores de
:
- Para
e em um sistema de coordenadas. - Para
e em outro sistema de coordenadas.
Vamos precisar entender como o valor de
afeta a forma do gráfico e quais passos seguir para esboçá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação
. Essa função representa uma transformação da função raiz. O expoente
indica que estamos tirando a raiz
-ésima de
.
- Quando
é ímpar (1 e 3), a função é uma função linear ou cúbica. - Quando
é par (2 e 4), a função representa raízes quadradas ou de quarta ordem.
Entender isso vai nos ajudar a desenhar os gráficos corretamente.
Passo 3
Vamos começar com
.
Para
:
Isso é uma função linear com inclinação 1 e intercepto em
. O gráfico será uma linha reta que cruza o eixo
no ponto
.
Passo 4
Agora, para
:
Essa é uma função cúbica raiz. O gráfico dessa função passa pelo ponto
e tem uma curva suave que se estende tanto para valores positivos quanto negativos de
. Para desenhar, podemos calcular alguns pontos:
- Quando
, - Quando
,
Isso nos dá uma ideia de como a curva se comporta.
Passo 5
Agora, vamos para
:
Essa é uma função raiz quadrada deslocada para a direita em 1 unidade. O domínio dessa função é
. O gráfico começa no ponto
e cresce lentamente para a direita, formando uma curva que se aproxima do eixo
mas nunca o toca novamente.
Passo 6
Por último, para
:
Essa é uma função raiz de quarto grau, também deslocada para a direita em 1 unidade. Similar à raiz quadrada, o domínio é
. O gráfico cresce ainda mais lentamente, criando uma curva mais achatada à medida que
aumenta.
Resposta
Após analisar cada caso, os gráficos das funções
para
e
mostram uma linha reta e uma curva cúbica, respectivamente, em um sistema de coordenadas. Para
e
, os gráficos representam raízes quadradas e de quarta ordem, com curvas que começam no ponto
e crescem suavemente para a direita, em outro sistema de coordenadas.
Exercícios relacionados
Determine o domínio natural e a imagem da função algebricamente.
Esboce o gráfico da equação para
em um sistema de coordenadas e para
em outro sistema de coordenadas.
Encontre a solução geral da equação
e determine a solução
dessa EDO que satisfaz a condição
e
.
Determine os seguintes limites.
(b) .
(b)