Esboce o gráfico da equação para em um sistema de coordenadas e para em outro sistema de coordenadas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos desenhar o gráfico dessa função para dois conjuntos de valores de :
  • Para e em um sistema de coordenadas.
  • Para e em outro sistema de coordenadas.
Vamos precisar entender como o valor de afeta a forma do gráfico e quais passos seguir para esboçá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação . Essa função representa uma transformação da função raiz. O expoente indica que estamos tirando a raiz -ésima de .
  • Quando é ímpar (1 e 3), a função é uma função linear ou cúbica.
  • Quando é par (2 e 4), a função representa raízes quadradas ou de quarta ordem.
Entender isso vai nos ajudar a desenhar os gráficos corretamente.

Passo 3

Vamos começar com .
Para :
Isso é uma função linear com inclinação 1 e intercepto em . O gráfico será uma linha reta que cruza o eixo no ponto .

Passo 4

Agora, para :
Essa é uma função cúbica raiz. O gráfico dessa função passa pelo ponto e tem uma curva suave que se estende tanto para valores positivos quanto negativos de . Para desenhar, podemos calcular alguns pontos:
  • Quando ,
  • Quando ,
Isso nos dá uma ideia de como a curva se comporta.

Passo 5

Agora, vamos para :
Essa é uma função raiz quadrada deslocada para a direita em 1 unidade. O domínio dessa função é . O gráfico começa no ponto e cresce lentamente para a direita, formando uma curva que se aproxima do eixo mas nunca o toca novamente.

Passo 6

Por último, para :
Essa é uma função raiz de quarto grau, também deslocada para a direita em 1 unidade. Similar à raiz quadrada, o domínio é . O gráfico cresce ainda mais lentamente, criando uma curva mais achatada à medida que aumenta.

Resposta

Após analisar cada caso, os gráficos das funções para e mostram uma linha reta e uma curva cúbica, respectivamente, em um sistema de coordenadas. Para e , os gráficos representam raízes quadradas e de quarta ordem, com curvas que começam no ponto e crescem suavemente para a direita, em outro sistema de coordenadas.

Exercícios relacionados

Determine o domínio natural e a imagem da função algebricamente.
Esboce o gráfico da equação para em um sistema de coordenadas e para em outro sistema de coordenadas.
Encontre a solução geral da equação
e determine a solução dessa EDO que satisfaz a condição e .
Determine os seguintes limites.
(b) .