Beleza, vamos lá! O que você tem aí é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais não homogêneas, que envolvem encontrar a solução geral combinando a solução da equação homogênea associada com uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, temos:
Passo 4
Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o termo do lado direito não é uma função cuja forma se encaixa nas abordagens padrão de coeficientes a determinar, vamos usar o método dos coeficientes a determinar ou, mais especificamente, o método de variação dos parâmetros.
Passo 6
No método de variação dos parâmetros, assumimos que a solução particular é uma combinação das soluções da equação homogênea, mas com coeficientes que são funções de :
Passo 7
Para encontrar e , precisamos calcular o Wronskiano das soluções homogêneas:
Passo 8
As expressões para e são dadas por:
Passo 9
Agora, integramos e para encontrar e :
Passo 10
Realizando as integrações:
Para :
Para :
Desconsideramos as constantes de integração pois elas serão absorvidas nas constantes da solução geral.
Passo 11
Substituindo e na expressão de :
Simplificando:
Passo 12
Simplificando ainda mais:
Multiplicando numerador e denominador por :
Passo 13
Então, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea mais a solução particular: