Encontre a solução geral das equaçōes:
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você tem aí é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais não homogêneas, que envolvem encontrar a solução geral combinando a solução da equação homogênea associada com uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, temos:

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o termo do lado direito não é uma função cuja forma se encaixa nas abordagens padrão de coeficientes a determinar, vamos usar o método dos coeficientes a determinar ou, mais especificamente, o método de variação dos parâmetros.

Passo 6

No método de variação dos parâmetros, assumimos que a solução particular é uma combinação das soluções da equação homogênea, mas com coeficientes que são funções de :

Passo 7

Para encontrar e , precisamos calcular o Wronskiano das soluções homogêneas:

Passo 8

As expressões para e são dadas por:

Passo 9

Agora, integramos e para encontrar e :

Passo 10

Realizando as integrações:
Para :
Para :
Desconsideramos as constantes de integração pois elas serão absorvidas nas constantes da solução geral.

Passo 11

Substituindo e na expressão de :
Simplificando:

Passo 12

Simplificando ainda mais:
Multiplicando numerador e denominador por :

Passo 13

Então, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea mais a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Encontre a solução geral das equaçōes:
(a) .
Encontre a solução geral das equaçōes:
(e)
Encontre a solução geral das equaçōes:
(b) .
Encontre a solução geral das equaçōes:
(f)