Encontre a solução geral das equaçōes:
(e)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver isso, precisamos encontrar a solução geral que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular que leva em conta os termos não homogêneos e .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: .

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução da forma . Substituindo na equação, temos:
Como nunca é zero, temos .

Passo 4

Resolvendo a equação característica , obtemos raízes complexas:

Passo 5

Com raízes complexas , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Vamos tratar cada termo não homogêneo separadamente.

Passo 7

Primeiro, para o termo , notamos que ele já está presente na solução homogênea. Portanto, precisamos multiplicar por para encontrar uma solução particular adequada:

Passo 8

Segundo, para o termo , assumimos uma solução particular da forma:

Passo 9

Agora, combinamos as soluções particulares:

Passo 10

Substituímos na equação original e resolvemos para encontrar os coeficientes , , e .

Passo 11

Após calcular as derivadas e substituir na equação, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para resolver os valores de , , e .

Passo 12

Concluímos que os coeficientes são:

Passo 13

Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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i)
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g)
Encontre a solução geral das equaçōes:
(a) .
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(d)