Encontre a solução geral das equaçōes:
(e)
(e)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver isso, precisamos encontrar a solução geral que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular que leva em conta os termos não homogêneos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação, temos:
Como
nunca é zero, temos
.
Passo 4
Resolvendo a equação característica
, obtemos raízes complexas:
Passo 5
Com raízes complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Vamos tratar cada termo não homogêneo separadamente.
Passo 7
Primeiro, para o termo
, notamos que ele já está presente na solução homogênea. Portanto, precisamos multiplicar por
para encontrar uma solução particular adequada:
Passo 8
Segundo, para o termo
, assumimos uma solução particular da forma:
Passo 9
Agora, combinamos as soluções particulares:
Passo 10
Substituímos
na equação original e resolvemos para encontrar os coeficientes
,
,
e
.
Passo 11
Após calcular as derivadas e substituir na equação, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para resolver os valores de
,
,
e
.
Passo 12
Concluímos que os coeficientes são:
Passo 13
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação
é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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i)
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g)
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Encontre a solução geral das equaçōes:
(a) .
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Encontre a solução geral das equaçōes:
(d)
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