Encontre a solução geral das equaçōes:
(f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é do tipo . A matéria que estamos lidando aqui é equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. A gente resolve isso encontrando as raízes da equação característica:
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Vamos separar isso em duas partes: uma para e outra para a constante .
Para :
Proponho uma solução da forma .
Derivando:
Substituindo na equação:
Então, .
Portanto, .
Para a constante 2:
Proponho uma solução constante .
Derivando:
Substituindo na equação:
Então, .
Portanto, .
Somando as duas soluções particulares:

Passo 4

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Substituindo:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Encontre a solução geral das equaçōes:
(b) .
Encontre a solução geral das equaçōes:
(d)
Resolva os problemas de valor inicial:
(a)
Resolva os problemas de valor inicial:
(b)