Encontre a solução geral das equaçōes:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é do tipo
. A matéria que estamos lidando aqui é equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. A gente resolve isso encontrando as raízes da equação característica:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Vamos separar isso em duas partes: uma para
e outra para a constante
.
Para
:
Proponho uma solução da forma .
Derivando:
Proponho uma solução da forma
Derivando:
Substituindo na equação:
Então,
.
Portanto, .
Portanto,
Para a constante 2:
Proponho uma solução constante .
Derivando:
Proponho uma solução constante
Derivando:
Substituindo na equação:
Então,
.
Portanto, .
Portanto,
Somando as duas soluções particulares:
Passo 4
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Substituindo:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das equaçōes:
(b) .
(b)
Encontre a solução geral das equaçōes:
(d)
(d)
Resolva os problemas de valor inicial:
(a)
(a)
Resolva os problemas de valor inicial:
(b)
(b)