Encontre a solução geral das equaçōes:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente:
Para isso, encontramos a equação característica, que é uma equação auxiliar obtida substituindo
por
:
Passo 3
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Podemos fatorar:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Vamos usar o método da variação dos parâmetros ou tentativa de solução específica. Como o lado direito é
, vamos supor uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 6
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituímos
,
, e
na equação original:
Substituindo:
Passo 8
Vamos simplificar os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 9
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para o termo com
:
Para o termo constante:
Passo 10
Com os valores de
e
, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Encontre a solução geral das equaçōes:
(e)
(e)
Resolva as seguintes equações nao homogenias
i)
i)
Encontre a solução geral das equaçōes:
(d)
(d)
Encontre a solução geral das equaçōes:
(b) .
(b)