Encontre a solução geral das equaçōes:
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente:
Para isso, encontramos a equação característica, que é uma equação auxiliar obtida substituindo por :

Passo 3

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Podemos fatorar:
Então, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
Vamos usar o método da variação dos parâmetros ou tentativa de solução específica. Como o lado direito é , vamos supor uma solução particular da forma:
Onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 6

Vamos derivar para encontrar e :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 7

Substituímos , , e na equação original:
Substituindo:

Passo 8

Vamos simplificar os termos:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 9

Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para o termo com :
Para o termo constante:

Passo 10

Com os valores de e , a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral das equaçōes:
(e)
Resolva as seguintes equações nao homogenias
i)
Encontre a solução geral das equaçōes:
(d)
Encontre a solução geral das equaçōes:
(b) .