Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
y' = (y - x) / (y + x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de equações diferenciais: encontrar a solução geral da equação . Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração. Então, vamos passo a passo entender e resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar. A equação dada é:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir , ou seja, . Isso ajuda a transformar a equação em termos de e , facilitando a resolução.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Como , usando a regra do produto, temos:
Substituímos isso na equação original:

Passo 4

Vamos isolar . Subtraindo dos dois lados:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos separar as variáveis e . Dividindo ambos os lados por e multiplicando por :
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 6

Vamos integrar o lado esquerdo:
Podemos separar essa fração:
A primeira integral é igual a e a segunda é . Então:

Passo 7

Agora, voltamos à substituição original :
Podemos simplificar um pouco mais:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Faça o gráfico das funções a seguir e especifique os intervalos nos quais as funções são crescentes ou decrescentes e também o conjunto imagem.
g(x) = { 1 - x, 0 <= x <= 1; 2 - x, 1 < x <= 2 }
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
y' = (y - x) / x
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
y' = y/x + x/y
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
y' = (y^3 - x^3) / (x y^2), y(1) = 2