Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de equações diferenciais: encontrar a solução geral da equação
. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração. Então, vamos passo a passo entender e resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar. A equação dada é:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir
, ou seja,
. Isso ajuda a transformar a equação em termos de
e
, facilitando a resolução.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Como
, usando a regra do produto, temos:
Substituímos isso na equação original:
Passo 4
Vamos isolar
. Subtraindo
dos dois lados:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 6
Vamos integrar o lado esquerdo:
Podemos separar essa fração:
A primeira integral é igual a
e a segunda é
. Então:
Passo 7
Agora, voltamos à substituição original
:
Podemos simplificar um pouco mais:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
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