Faça o gráfico das funções a seguir e especifique os intervalos nos quais as funções são crescentes ou decrescentes e também o conjunto imagem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para fazer o gráfico da função
definida por partes, identificar onde ela está crescendo ou decrescendo e também determinar o conjunto imagem dessa função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções, gráficos e análise de monotonicidade (crescimento e decrescimento). Precisamos entender como a função se comporta em cada intervalo definido.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função em cada parte do seu domínio.
Para
:
Essa é uma função linear com coeficiente angular
, o que significa que ela está decrescendo nesse intervalo.
Para
:
Novamente, temos uma função linear com coeficiente angular
, então também está decrescendo nesse intervalo.
Passo 3
Vamos agora identificar os pontos chave para desenhar o gráfico.
Para
:
Para
:
Para
:
Portanto, temos os pontos
,
e
.
Passo 4
Com esses pontos, vamos desenhar as duas retas:
- De
a , a reta vai de até , descendo de forma linear. - De
a , a reta vai de até , mas como a inclinação é , na verdade para , a função continua descendo, mas como chegamos ao mesmo valor em , percebemos que a função fica constante nesse ponto.
Passo 5
Agora, vamos identificar onde a função está crescendo ou decrescendo.
- Decrescente em todo o domínio
, já que o coeficiente angular é negativo em ambas as partes. - Crescente: Não há intervalos onde a função está crescendo.
Passo 6
Por fim, vamos determinar o conjunto imagem da função
.
Os valores que
assume vão do mínimo valor até o máximo valor da função no seu domínio.
- O valor máximo é
- O valor mínimo é
e
Então, o conjunto imagem é:
Resposta
O gráfico da função
está representado por duas linhas retas decrescentes no intervalo
, passando pelos pontos
,
e
. A função é decrescente em todo o seu domínio
e o conjunto imagem é
.
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