Faça o gráfico das funções a seguir e especifique os intervalos nos quais as funções são crescentes ou decrescentes e também o conjunto imagem.
g(x) = { 1 - x, 0 <= x <= 1; 2 - x, 1 < x <= 2 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para fazer o gráfico da função definida por partes, identificar onde ela está crescendo ou decrescendo e também determinar o conjunto imagem dessa função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções, gráficos e análise de monotonicidade (crescimento e decrescimento). Precisamos entender como a função se comporta em cada intervalo definido.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função em cada parte do seu domínio.
Para :
Essa é uma função linear com coeficiente angular , o que significa que ela está decrescendo nesse intervalo.
Para :
Novamente, temos uma função linear com coeficiente angular , então também está decrescendo nesse intervalo.

Passo 3

Vamos agora identificar os pontos chave para desenhar o gráfico.
Para :
Para :
Para :
Portanto, temos os pontos , e .

Passo 4

Com esses pontos, vamos desenhar as duas retas:
  1. De a , a reta vai de até , descendo de forma linear.
  2. De a , a reta vai de até , mas como a inclinação é , na verdade para , a função continua descendo, mas como chegamos ao mesmo valor em , percebemos que a função fica constante nesse ponto.

Passo 5

Agora, vamos identificar onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • Decrescente em todo o domínio , já que o coeficiente angular é negativo em ambas as partes.
  • Crescente: Não há intervalos onde a função está crescendo.

Passo 6

Por fim, vamos determinar o conjunto imagem da função .
Os valores que assume vão do mínimo valor até o máximo valor da função no seu domínio.
  • O valor máximo é
  • O valor mínimo é e
Então, o conjunto imagem é:

Resposta

O gráfico da função está representado por duas linhas retas decrescentes no intervalo , passando pelos pontos , e . A função é decrescente em todo o seu domínio e o conjunto imagem é .

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