Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
Estamos resolvendo a equação diferencial
com a condição inicial
. Vamos usar técnicas de substituição para equações homogêneas para encontrar a solução geral e a solução particular.
Passo 2
Primeiro, observamos que a equação é homogênea porque os termos do numerador e denominador têm o mesmo grau. Para resolver, vamos fazer a substituição
. Isso simplifica a equação e facilita a resolução.
Passo 3
Definindo
, temos que
. Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Passo 5
Isolamos o termo que envolve
:
Passo 6
Separando as variáveis, temos:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Passo 8
Retornamos à variável original
usando
:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
. Com a condição inicial
, a solução particular é
.