Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
y' = (y^3 - x^3) / (x y^2), y(1) = 2

Passo 1

Estamos resolvendo a equação diferencial com a condição inicial . Vamos usar técnicas de substituição para equações homogêneas para encontrar a solução geral e a solução particular.

Passo 2

Primeiro, observamos que a equação é homogênea porque os termos do numerador e denominador têm o mesmo grau. Para resolver, vamos fazer a substituição . Isso simplifica a equação e facilita a resolução.

Passo 3

Definindo , temos que . Agora, derivamos y em relação a x:

Passo 4

Substituímos y e y' na equação original:

Passo 5

Isolamos o termo que envolve :

Passo 6

Separando as variáveis, temos:

Passo 7

Integrando ambos os lados:

Passo 8

Retornamos à variável original y usando :

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de C:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é . Com a condição inicial , a solução particular é .

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