Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
y' = y/x + x/y

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma equação diferencial bem da hora:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e, se der, também resolver um problema de valor inicial. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais de primeira ordem e algumas técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação para facilitar a resolução. Vamos multiplicar os dois lados da equação por para eliminar a fração:
Isso nos dá:
Agora, a equação está mais simples e mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Vamos reescrever a equação para separar as variáveis de e :
Para resolver isso, vamos fazer uma substituição que facilite a integração. Vamos definir . Então, a derivada de em relação a é:
Agora, podemos reescrever a equação original em termos de :
Ou seja:
Essa é uma equação linear que podemos resolver usando o fator integrante.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para o padrão :
O próximo passo é encontrar o fator integrante ( ):
Agora, multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
A equação fica pronta para ser integrada.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto :
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
y' = (y - x) / (y + x)
Faça o gráfico das funções a seguir e especifique os intervalos nos quais as funções são crescentes ou decrescentes e também o conjunto imagem.
g(x) = { 1 - x, 0 <= x <= 1; 2 - x, 1 < x <= 2 }
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
y' = (y^3 - x^3) / (x y^2), y(1) = 2
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
y' = 2*x / (x + y)