Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma equação diferencial bem da hora:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e, se der, também resolver um problema de valor inicial. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais de primeira ordem e algumas técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação para facilitar a resolução. Vamos multiplicar os dois lados da equação por
para eliminar a fração:
Isso nos dá:
Agora, a equação está mais simples e mais fácil de trabalhar.
Passo 3
Vamos reescrever a equação para separar as variáveis de
e
:
Para resolver isso, vamos fazer uma substituição que facilite a integração. Vamos definir
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Agora, podemos reescrever a equação original em termos de
:
Ou seja:
Essa é uma equação linear que podemos resolver usando o fator integrante.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para o padrão
:
O próximo passo é encontrar o fator integrante (
):
Agora, multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
A equação fica pronta para ser integrada.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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