Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
y' = 2*x / (x + y)

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial e encontrar a solução geral. Vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e equações homogêneas. Para isso, vamos precisar fazer algumas substituições e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação homogênea. Uma equação é homogênea se podemos escrever como múltiplo de , ou seja, , onde é uma função de . Isso facilita a resolução porque nos permite reduzir a equação a uma forma mais simples.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a .

Passo 4

Calculando a derivada:
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas.

Passo 5

Substituímos e na equação diferencial original:
Agora, vamos isolar .

Passo 6

Isolando :
Isso nos dá uma equação separável.

Passo 7

Separamos as variáveis e :
Agora, vamos integrar ambos os lados. Para o lado esquerdo, fazemos uma fração parcial:
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Simplificando e voltando para :
Exponentiando ambos os lados:
Onde é uma nova constante. Lembrando que :
Simplificando:
Onde é a constante geral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
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