Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial
e encontrar a solução geral. Vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e equações homogêneas. Para isso, vamos precisar fazer algumas substituições e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação homogênea. Uma equação é homogênea se podemos escrever
como múltiplo de
, ou seja,
, onde
é uma função de
. Isso facilita a resolução porque nos permite reduzir a equação a uma forma mais simples.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Calculando a derivada:
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas.
Passo 5
Substituímos
e
na equação diferencial original:
Agora, vamos isolar
.
Passo 6
Isolando
:
Isso nos dá uma equação separável.
Passo 7
Separamos as variáveis
e
:
Agora, vamos integrar ambos os lados. Para o lado esquerdo, fazemos uma fração parcial:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Simplificando e voltando para
:
Exponentiando ambos os lados:
Onde
é uma nova constante. Lembrando que
:
Simplificando:
Onde
é a constante geral.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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