Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
y' = y / (x + raiz(x y))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação e torná-la separável, ou seja, onde possamos separar as variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição inteligente. Vamos definir . Isso significa que .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra do produto:
onde é a derivada de em relação a .

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Simplificamos o denominador fatorando .

Passo 5

Agora, rearranjamos a equação para isolar :
Ou seja:

Passo 6

Essa equação está em forma separável. Podemos reorganizar os termos para separar e :
Aqui, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por .

Passo 7

Agora, vamos integrar ambos os lados:
Expandimos o numerador para facilitar a integração.

Passo 8

Resolvendo as integrais:
onde é a constante de integração.

Passo 9

Agora, substituímos de volta:
Simplificamos os termos para expressar em função de .

Passo 10

Simplificando ainda mais:
Observamos que aparece dos dois lados, então podemos cancelar.

Passo 11

Finalmente, isolamos os termos para obter a solução geral:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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y' = (x + y e^(y / x)) / (x e^(y / x)), y(1) = 0
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