Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação e torná-la separável, ou seja, onde possamos separar as variáveis e .
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição inteligente. Vamos definir . Isso significa que .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra do produto:
onde é a derivada de em relação a .
Passo 4
Substituímos e na equação original:
Simplificamos o denominador fatorando .
Passo 5
Agora, rearranjamos a equação para isolar :
Ou seja:
Passo 6
Essa equação está em forma separável. Podemos reorganizar os termos para separar e :
Aqui, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por .
Passo 7
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Expandimos o numerador para facilitar a integração.
Passo 8
Resolvendo as integrais:
onde é a constante de integração.
Passo 9
Agora, substituímos de volta:
Simplificamos os termos para expressar em função de .
Passo 10
Simplificando ainda mais:
Observamos que aparece dos dois lados, então podemos cancelar.
Passo 11
Finalmente, isolamos os termos para obter a solução geral:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.