Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem uma equação diferencial:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e substituições para simplificar a resolução. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e substituições inteligentes para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dada. Vamos reescrever o lado direito:
Podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Seja
. Isso significa que
. Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Agora substituímos
na equação original:
Passo 4
Simplificando a equação:
Os termos
se cancelam dos dois lados:
Agora, temos uma equação separável:
Passo 5
Vamos separar as variáveis
e
:
Agora, integramos ambos os lados:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração. Então:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Sabemos que
, então:
Isso implica que
.
Resposta
A solução particular do problema é:
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Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
Resolva os exercícios a seguir.
Encontre o conjunto imagem de .
Encontre o conjunto imagem de
Verifique se as identidades são verdadeiras:
.
Verifique a paridade das seguintes funções: