Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
y' = (x + y e^(y / x)) / (x e^(y / x)), y(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem uma equação diferencial:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e substituições para simplificar a resolução. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e substituições inteligentes para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada. Vamos reescrever o lado direito:
Podemos dividir o numerador e o denominador por :

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Seja . Isso significa que . Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a :
Agora substituímos na equação original:

Passo 4

Simplificando a equação:
Os termos se cancelam dos dois lados:
Agora, temos uma equação separável:

Passo 5

Vamos separar as variáveis e :
Agora, integramos ambos os lados:
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é , onde é a constante de integração. Então:

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de :
Sabemos que , então:
Isso implica que .

Resposta

A solução particular do problema é:

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
y' = y / (x + raiz(x y))
Resolva os exercícios a seguir.
Encontre o conjunto imagem de f(x) = 2 + raiz(16 + x^2).
Verifique se as identidades são verdadeiras: 2^3.8 = (2^3)^8.
Verifique a paridade das seguintes funções:
f(x) = x^2 + x