Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: para
. A matéria envolvida aqui são as equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante que nos ajuda a transformar a equação em uma forma mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares:
. Para isso, dividimos toda a equação por
:
Aqui,
e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto
:
Passo 6
Vamos integrar os dois lados da equação:
Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Resolva:
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando
:
.
Verifique que cada função dada,
, é uma solução da equação diferencial associada.
,