Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: para . A matéria envolvida aqui são as equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante que nos ajuda a transformar a equação em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares: . Para isso, dividimos toda a equação por :
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto :

Passo 6

Vamos integrar os dois lados da equação:
Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes:

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Resolva:
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando :
.
Verifique que cada função dada, , é uma solução da equação diferencial associada.
,