Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso é da área de Equações Diferenciais, especificamente equações lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
A razão de fazer isso é que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada de :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Resolva:
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Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando :
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