Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
. Isso é da área de Equações Diferenciais, especificamente equações lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
A razão de fazer isso é que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada de
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Resolva:
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Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando
:
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