Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que o enunciado nos deu:
para
. Estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar um método chamado fator integrante, que nos ajuda a encontrar uma solução geral para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
. Para isso, vamos dividir tudo por
(já que
):
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função
que multiplicaremos na equação para torná-la mais fácil de resolver. A fórmula para o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de
:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado direito vamos resolver por partes:
Então, temos:
Passo 5
Finalmente, resolvemos para
:
Agora, vamos analisar o comportamento quando
:
-
e tendem a 0, já que os numeradores são funções que oscilam entre -1 e 1, enquanto os denominadores crescem sem limite. -
também tende a 0, já que cresce para infinito.
Portanto, todas as partes da solução geral tendem a 0 conforme
vai para infinito.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Quando
, todas as partes da solução tendem a 0, ou seja,
.
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Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
.
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Exercício 1. Calcule as integrais iteradas.
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