Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que o enunciado nos deu: para . Estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar um método chamado fator integrante, que nos ajuda a encontrar uma solução geral para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear: . Para isso, vamos dividir tudo por (já que ):
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplicaremos na equação para torná-la mais fácil de resolver. A fórmula para o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de :
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado direito vamos resolver por partes:
Então, temos:

Passo 5

Finalmente, resolvemos para :
Agora, vamos analisar o comportamento quando :
  • e tendem a 0, já que os numeradores são funções que oscilam entre -1 e 1, enquanto os denominadores crescem sem limite.
  • também tende a 0, já que cresce para infinito.
Portanto, todas as partes da solução geral tendem a 0 conforme vai para infinito.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Quando , todas as partes da solução tendem a 0, ou seja, .

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Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
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Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Exercício 1. Calcule as integrais iteradas.
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