Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de primeira ordem. O que a gente precisa aqui é encontrar a solução geral da equação . Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica bacana para resolver equações lineares como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. A equação está na forma padrão , onde aqui temos e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é essencialmente uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 3

O fator integrante é calculado usando a fórmula . Substituindo , temos:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação original em algo que seja mais fácil de integrar.

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
A equação fica então:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante qualquer.

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Resolva:
Resolva:
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
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Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando :