Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de primeira ordem. O que a gente precisa aqui é encontrar a solução geral da equação
. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica bacana para resolver equações lineares como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. A equação está na forma padrão
, onde aqui temos
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é essencialmente uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação.
Passo 3
O fator integrante
é calculado usando a fórmula
. Substituindo
, temos:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação original em algo que seja mais fácil de integrar.
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
A equação fica então:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante qualquer.
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Resolva:
Resolva:
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
.
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando
: