Exercício 1. Calcule as integrais iteradas.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa calcular uma integral tripla, ou seja, integrar uma função em três dimensões. O enunciado nos dá a seguinte integral:
Aqui, estamos trabalhando com integrais múltiplas, especificamente integrais iteradas. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando pela variável mais interna (nesse caso, ), e seguindo para as próximas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a . Observe que a função que estamos integrando é , que não depende de . Quando a função não depende da variável de integração, a integral fica mais simples. A integral de uma constante em relação a de até é .
Então, temos:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão de volta na integral e passamos para a próxima integraç��o, que é em relação a . Então temos:
Para resolver essa integral, vamos observar que a expressão pode ser integrada com uma substituição simples. Vamos fazer uma substituição , então , ou seja, .
Reescrevendo a integral:
Aplicando os limites de integração de a :
Portanto, a integral em relação a fica:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão de volta na integral e temos que integrar em relação a :
A integral de em relação a é . Ent��o:

Resposta

A integral tripla vale .

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, onde .
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, em que é o cilindro e .