Exercício 1. Calcule as integrais iteradas.
integral0^pi integral0^1 integral0^raiz1-z^2 z sen(x) d y d z d x

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa calcular uma integral tripla, ou seja, integrar uma função em três dimensões. O enunciado nos dá a seguinte integral:
Aqui, estamos trabalhando com integrais múltiplas, especificamente integrais iteradas. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando pela variável mais interna (nesse caso, integral0^pi integral0^1 integral0^raiz1-z^2 z cdot sen(x) , dy , dz , dx ), e seguindo para as próximas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^raiz1-z^2 z cdot sen(x) , dy = z cdot sen(x) cdot ( raiz1 - z^2 - 0 ) = z cdot sen(x) cdot raiz1 - z^2 . Observe que a função que estamos integrando é , que não depende de . Quando a função não depende da variável de integração, a integral fica mais simples. A integral de uma constante em relação a de até é .
Então, temos:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão de volta na integral e passamos para a próxima integraç��o, que é em relação a integral0^1 z cdot sen(x) cdot raiz1 - z^2 , dz . Então temos:
Para resolver essa integral, vamos observar que a expressão integral z cdot raiz1 - z^2 , dz = -12 integral raizu , du = -12 cdot 23 u^3/2 + C = -13 (1 - z^2)^3/2 + C pode ser integrada com uma substituição simples. Vamos fazer uma substituição -13 (1 - 1^2)^3/2 + 13 (1 - 0^2)^3/2 = -13 cdot 0 + 13 cdot 1 = 13 , então integral0^1 z cdot sen(x) cdot raiz1 - z^2 , dz = 13 cdot sen(x) , ou seja, .
Reescrevendo a integral:
Aplicando os limites de integração de a :
Portanto, a integral em relação a fica:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão de volta na integral e temos que integrar em relação a integral0^pi 13 cdot sen(x) , dx = 13 integral0^pi sen(x) , dx :
A integral de em relação a 13 [ -cos(x) ]0^pi = 13 ( -cos(pi) + cos(0) ) = 13 ( -(-1) + 1 ) = 13 (1 + 1) = 23 é . Ent��o:

Resposta

A integral tripla vale .

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