Exercício 1. Calcule as integrais iteradas.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa calcular uma integral tripla, ou seja, integrar uma função em três dimensões. O enunciado nos dá a seguinte integral:
Aqui, estamos trabalhando com integrais múltiplas, especificamente integrais iteradas. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando pela variável mais interna (nesse caso,
), e seguindo para as próximas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a
. Observe que a função que estamos integrando é , que não depende de
. Quando a função não depende da variável de integração, a integral fica mais simples. A integral de uma constante
em relação a
de
até
é
.
Então, temos:
Passo 3
Agora, substituímos essa expressão de volta na integral e passamos para a próxima integraç��o, que é em relação a
. Então temos:
Para resolver essa integral, vamos observar que a expressão
pode ser integrada com uma substituição simples. Vamos fazer uma substituição
, então
, ou seja,
.
Reescrevendo a integral:
Aplicando os limites de integração de
a
:
Portanto, a integral em relação a
fica:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão de volta na integral e temos que integrar em relação a
:
A integral de em relação a
é
. Ent��o:
Resposta
A integral tripla vale
.
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Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando
:
Exercício 2. Calcule as integrais triplas.
, onde
.
Exercício 2. Calcule as integrais triplas.
, em que
é o cilindro
e
.