Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial . Isso pertence ao estudo das equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método das equações lineares, que ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das equações lineares: . Para isso, dividimos todos os termos por 2:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica para a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral usando integração por partes. Fazemos isso duas vezes:
Primeira integração por partes:
Então:
Segunda integração por partes para :
Então:
Substituindo de volta:

Passo 7

Voltando à equação onde integrávamos:
Simplificando:
Agora, dividimos ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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