Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
. Isso pertence ao estudo das equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método das equações lineares, que ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das equações lineares:
. Para isso, dividimos todos os termos por 2:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral
usando integração por partes. Fazemos isso duas vezes:
Primeira integração por partes:
Então:
Segunda integração por partes para
:
Então:
Substituindo de volta:
Passo 7
Voltando à equação onde integrávamos:
Simplificando:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Resolva:
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando
:
Exercício 1. Calcule as integrais iteradas.