Exercício 1. Calcule as integrais iteradas.
integral0^1 integraly^2 y integral0^x+y 6 x y d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integrais iteradas juntos! A questão pede para calcular uma integral tripla, que é uma integral aplicada em três dimensões. Para resolver isso, vamos integrar uma função de dentro para fora, ou seja, primeiro em relação a , depois e, por último, .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^x+y 6xy , dz = 6xy cdot z g|0^x+y = 6xy(x + y) - 6xy(0) = 6xy(x + y) . A função que temos é , e os limites para são de até . Integrar em relação a significa tratar e como constantes:

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integraly^2y 6xy(x + y) , dx = 6y integraly^2y x(x + y) , dx , com os limites de x(x + y) = x^2 + xy até 6y integraly^2y (x^2 + xy) , dx = 6y ( integraly^2y x^2 , dx + integraly^2y xy , dx ) :
integraly^2y x^2 , dx = x^33 g|y^2y = (2y)^33 - y^33 = 8y^33 - y^33 = 7y^33
Vamos expandir integraly^2y xy , dx = y integraly^2y x , dx = y ( x^22 g|y^2y ) = y ( (2y)^22 - y^22 ) = y ( 4y^22 - y^22 ) = y ( 3y^22 ) = 3y^32 para facilitar a integração:
7y^33 + 3y^32 = ( 14y^36 + 9y^36 ) = 23y^36
Então, a integral fica:
6y cdot 23y^36 = 23y^4
Integrando cada parte:
Somando as duas integrais:
Multiplicando pelo :

Passo 4

Por último, vamos integrar integral0^1 23y^4 , dy = 23 integral0^1 y^4 , dy = 23 ( y^55 g|0^1 ) = 23 ( 15 - 0 ) = 235 em relação a , com os limites de até :

Resposta

A integral iterada vale .

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