Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é um conceito fundamental em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. A equação inicial é:
Lembrando que
representa a derivada de
em relação a
, podemos multiplicar ambos os lados por
para isolar os termos:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração nos ajudará a encontrar uma relação entre
e
.
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Vamos simplificar as constantes de integração. Podemos combinar
e
em uma única constante
:
Multiplicando todos os termos por 2 para facilitar:
Como
ainda é uma constante, podemos simplificá-la para
:
Passo 5
Finalmente, para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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