Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é um conceito fundamental em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . A equação inicial é:
Lembrando que representa a derivada de em relação a , podemos multiplicar ambos os lados por para isolar os termos:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração nos ajudará a encontrar uma relação entre e .
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Onde e são constantes de integração.

Passo 4

Vamos simplificar as constantes de integração. Podemos combinar e em uma única constante :
Multiplicando todos os termos por 2 para facilitar:
Como ainda é uma constante, podemos simplificá-la para :

Passo 5

Finalmente, para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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