Verifique se a função y = y(t) é solução da equação diferencial.
y' + 5y = t, y(t) = t / 5 + e^(-5t)

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente verificar se uma função específica é solução de uma equação diferencial. A gente vai usar conceitos de cálculo diferencial e substituir a função na equação para ver se tudo fecha certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a função que a gente quer testar:
Agora, precisamos calcular a derivada dessa função em relação a , que é representada por .

Passo 3

Vamos calcular a derivada:
A derivada de é e a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na equação diferencial dada:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Os termos e se cancelam, sobrando:

Passo 6

A equação resultante após a substituição é:
Mas a equação original dizia que isso deveria ser igual a :
Claramente, não é igual a zero, então a igualdade não se sustenta.

Resposta

A função não é solução da equação diferencial .

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