Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
y' + 2y = 2e^(-t) + t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar o fator integrante e aplicar o método das equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando os termos do lado direito:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto :
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Para resolver , usamos integração por partes:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Portanto, a integral completa fica:

Passo 7

Agora, resolvemos para dividindo ambos os lados por :
Podemos simplificar como uma única expressão:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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