Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar o fator integrante e aplicar o método das equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando os termos do lado direito:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Para resolver
, usamos integração por partes:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Portanto, a integral completa fica:
Passo 7
Agora, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Podemos simplificar
como uma única expressão:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
O nuclídeo radioativo plutônio 241 decai de acordo com a equação diferencial
onde
está em miligramas e
em anos.
Se 50 mg de plutônio 241 estiverem presentes numa amostra no dia de hoje, quanto plutônio existirá daqui a 10 anos?
Se 50 mg de plutônio 241 estiverem presentes numa amostra no dia de hoje, quanto plutônio existirá daqui a 10 anos?