Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que é sobre uma equação diferencial. A gente vai precisar usar métodos de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente a equação linear. Vamos precisar isolar a derivada e encontrar um fator integrante para solucionar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para deixar a derivada isolada. A equação é:
Vamos dividir todos os termos por
para deixar
isolado:
Passo 3
Agora identificamos os coeficientes da equação linear na forma
. Aqui,
Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante
que é dado por:
Passo 4
Calculando o fator integrante:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
, ou seja:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, isolamos
:
Passo 8
Usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
O nuclídeo radioativo plutônio 241 decai de acordo com a equação diferencial
onde
está em miligramas e
em anos.
Se 50 mg de plutônio 241 estiverem presentes numa amostra no dia de hoje, quanto plutônio existirá daqui a 10 anos?
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Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.