Resolva os seguintes problemas de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que é sobre uma equação diferencial. A gente vai precisar usar métodos de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente a equação linear. Vamos precisar isolar a derivada e encontrar um fator integrante para solucionar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para deixar a derivada isolada. A equação é:
Vamos dividir todos os termos por para deixar isolado:

Passo 3

Agora identificamos os coeficientes da equação linear na forma . Aqui,
Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante que é dado por:

Passo 4

Calculando o fator integrante:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto , ou seja:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, isolamos :

Passo 8

Usamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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